Was nicht geht: Dass Ihr Euren Lohn nicht bekommt, weil Ihr schon mal krank wart - Kur ist wie Krankschreibung, also gilt die Lohnfortzahlung auch hier. Und auch bei befristeten Verträgen hat es rechtlich keinen Einfluss, ob Ihr zur Kur fahrt oder nicht.
Wenn Ihr auf Eurer Stelle einen Burn-out bekommen würdet und in die Reha müsstet, wäre die Situation ganz genau so - nur dass Ihr länger fehlen würdet, nämlich mindestens 6 Monate statt 3 Wochen.

Ich würde versuchen, zuerst zu überzeugen. Dann zu verhandeln (wichtig: eigenes Minimalziel und maximalen Einsatz, z.B. in Urlaubstagen, vorher klar haben!) und wirklich erst im letzten Schritt zu sagen, "Ich fahre auch gegen Ihren Willen, denn meine Krankenkasse hat die Kur nicht ohne Grund bewilligt." Aber ich drücke Euch die Daumen, dass es nicht erst so weit kommen muss.